《练习册上的答案,让你的数学更上一个层次》

古诗词06

题目一

已知一次函数y=kx+b(k>0),当x=2时,y=3;当x=m时,y=1,求k、b、m的值。

解答:

因为已知y=kx+b,所以当x=2时,可得k×2+b=3,得k=1/2-b/2。又因为m>2,且y>0,故1=km+b>0。两边同时减去b,得km>-b,又因为k>0,得m>-b/k。综合以上两个不等式,得m>-b/k>2。

又因为当x=m时,y=km+b,所以km+b=1,联立可得:

(1) (1/2-b/2)m+b=3/2;

(2) km+b=1。

联立解得:k=1,b=-1,m=-1。

题目二

按照图纸所示,在平面直角坐标系中,给定如下二次函数:

y=x2-4x+3,其中点P(a,b)在右上方(h=k=0时),P点的坐标为(2,-1)。

解答:

由于a为顶点横坐标,b为顶点的纵坐标,故a=2,b=-1。

y=(x-2)2-1,图形对称轴为x=2,故h=2,又yx=1-(x-2)2,当x=3时,可得y=0,故k=3。

题目三

求二次函数y=ax2+bx+c的解析式,使其过点(-1,2),且在点(2,0)处的斜率为4a。

解答:

由题,代入已知条件,得方程组:

{ a×(-1)2 + b×(-1)+ c= 2

{ 4a=y'(2)=【2×a×2+b】'

化简得:

{ a-b+c=2

{ 8a+b=0

解得:

a=1/2,b=-4,c=9/2。

题目四

若f(x)=x2+2px+q是一次函数,则有如下:

(1) p>0,q<0,

(2) p<0,q>0,

(3) pq<0,

(4) pq>0。

解答:

f(x)=x2+2px+q,令y=f(x)=0,从而解得:

x=-p±√(p2-q)

当(p2-q)=0时,y=(x+p)2≥0,恒大于或等于0。

当(p2-q)>0时,设x1,x2分别为方程的两根,则y=(x-x?)(x-x?),由于p>0,故x?<-p;x?>-p,故x?x?<q,则y,无论x取何值,都大于0。

由此可知,pq<0,得出正确答案。

题目五

关于解方程x2-bx-c=0的叙述中,不正确的是:

(A) 若该方程有两个正根,则存在另一个方程a2-ba-c=0也有两个正根;

(B) 若c<0,且该方程有两个正根,则b>0;

(C) 若该方程有两个正根,则c<0;

(D) 当c>0时,如果该方程有两个正根,则b>0。

解答:

根据配方法,可得:

x=1/2( b±√(b2+4c))

由于x1x?=-c<0,所以x1和x?皆为同号数。

此时,可根据系数 b 和 c 的符号,讨论 b2-4c 的符号。当b2-4c<0 时,只有复根;当 b2-4c=0 时,有重根;当 b2-4c>0 时,有两个异根。

对于错误的选项:

(A) 错误,x1x?=-c,a=x1+x?=b,c=x1x?。

(B) 正确,对于 x 和 c 的异号情形,当 x1>0 时,有x?<0,所以 b=x?+x?>0。

(C) 正确,因为 x1x?=-c<0,所以 x? 和 x? 为正负数,故方程有两个正根,所以 b=x1+x?>0,而 c=x?x?<0。

(D) 正确,对于 x 和 c 同号的情形,当 x1>0 时,有x?>0,所以 b=x?+x?>0。