题目新探:漫谈不等式组

古诗词08

搁策破题,艰难却每每激赏。大多数人都曾惦记,如何解决那些富有挑战的数学不等式?或许,计算机的出现能够一定程度上缓解大家的困惑。但是基础知识的薄弱总会成为绊脚石。于是,我们不如抛开那些枯燥的数学公式,去看看这样一类题目的“另一面”。

h2 其实不等式组并非死板的严肃问题

不加修饰的数学不等式题目,着实让我们感到它的严峻性。与其言听计从的去解决这些计算题目,我们何不从另一个角度认识它?

不妨从一下的不等式组开始:

$$\begin{cases}(x^2+2y^2)(1+2\lambda)\geqslant 27\lambda xy,\\ (x^2+y^2+z^2)\geqslant xy+xz+yz.\end{cases}$$

毕竟,在时间服务人、机器迭代成千上万次的今天,我们更应该学会从不同的角度看待所谓的“严肃问题”。

h2 不等式组的“另一面”

或者我们可以把不等式组当成一个“序列”。不同于固定的样式,这个序列拥有无数种呈现方式。我们可以把它当做可爱的小动物,为圈内“毒瘤”的不等式题目画上一笔。这样一来,枯燥的计算题目变得如此得意。

举个例子:

$$\begin{cases}x+y+\dfrac{1}{z}\geqslant \dfrac{25}{6}\\y+z+\dfrac{1}{x}\geqslant \dfrac{25}{6}\\z+x+\dfrac{1}{y}\geqslant \dfrac{25}{6}\end{cases}$$

这道题目十分琐碎乏味,数学老师已经口胡无力了吧?不会!通过简单的变形与化简,我们依次有:

$$x+y+\dfrac{1}{z}\geqslant \dfrac{25}{6}$$

$$6(x+y+z+xy+yx+xz)\geqslant 25xyz$$

$$5\cdot[(x+y)+(y+z)+(z+x)]\geqslant 6\cdot[(x+y+z)+(xy+yz+zx)]\cdot \dfrac{25}{6}$$

$$5(x+y+z)+5(xy+yz+zx)\geqslant 10(x+y+z)+25(xy+yz+zx)$$

$$x+y+z+2(xy+yz+zx)\geqslant \dfrac{5}{2}(x+y+z)$$

$$\because x+y+z\leqslant 3$$

$$\therefore xy+yz+zx\geqslant \dfrac{3}{2}$$

h2 不等式组也可以有诗意

或许有些人觉得这种“政治正确”的方式不太适合自己。没关系,不等式组还能有另一种“祖传”的表达方式——诗词体。

窗外凭添雨碑,

纵使倾盆亦无碍,

不同的你我却无奈,

面对这道不等式组,

唯有耐心求证,

才能那该怎么落笔,

究竟拨开数学的迷雾,

是小楼古道东风,还是满城尽带黄金甲?

h2 意外收获

小小的数学题目,我们可以从数学猜想入手,再进一步深究它里面蕴含的丰富信息,不妨想象一下,在探究的过程中,我们还获得了意想不到的收获。

h2 结语

不等式组兼具学问与娱乐,也诠释了我们对数学的热爱,尤其当我们用一种不同的方式看待它的时候,那种兴奋与自豪充斥心扉,自然与数学的灵感交汇,让我们更有兴致地去学习它。